Seminario de Geometría, Álgebra y Topología

Inti Cruz Díaz

Resumen: En esta exposición, estudiaremos una clase distinguida de homeomorfismos de superficies: los homeomorfismos pseudo-Anosov y los relacionaremos con los sistemas dinámicos simbólicos. Los sistemas dinámicos simbólicos son uno de los tipos más simples para describir, como sucesiones bi-infinitas de símbolos y una función de corrimiento. Históricamente, las personas han intentado asociar (bajo conjugación o semi-conjugación) un sistema dinámico simbólico a cualquier otro sistema dinámico en el que estén interesadas, ya que esto suele permitir el uso de una gran cantidad de herramientas combinatorias y analíticas formuladas en términos simbólicos para comprender mejor el sistema original. En esta charla, les mostraré cómo asociar uno de ellos a un homeomorfismo pseudo-Anosov.

Esto se realizará a través de las particiones de Markov y un nuevo objeto combinatorio llamado "tipo geométrico de la partición", el cual permite definir un sistema dinámico simbólico determinado por un tipo geométrico T, que resulta ser topológicamente conjugado a cualquier pseudo-Anosov que tenga una partición de Markov de tipo geométrico T. Este sistema es lo que llamamos un modelo simbólico de f y como corolario, obtendremos que el tipo geométrico es un invariante total de conjugación. Este es el punto de partida para una clasificación completa y algorítmica de los homeomorfismos pseudo-Anosov bajo conjugación topológica. Si el tiempo lo permite, compartiré algunas ideas adicionales sobre este tema.

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