Seminario de lectura de Topología

Expositor: Carlos Segovia

Resumen: Uno de los más grandes descubrimientos del siglo pasado fue la inesperada existencia de las esferas exóticas. Brevemente, una esfera exótica es una variedad diferencial que es homomorfa pero no difeomorfa a la esfera usual, ó en otras palabras es una esfera topológica con estructura diferencial extraña. El estudio de variedades de dimensión 2n que son (n-1)- conexas produce un invariante dado por la signatura de Hirzebruch, la cual se escribe en términos de las clases de Pontrjagin, que asumen la existencia de una estructura suave. Mediante algunas manipulaciones podemos obtener valores para las clases de Pontrjagin dado por fracciones para variedades de dimensión 7, lo cual implica su naturaleza exótica. En un principio se pensó que dichas construcciones daban contraejemplos a la conjetura de Poincaré en dimensión 7. Fue con el teorema de Reeb, utilizando teoría de Morse, que se pudo demostrar que dichas construcciones eran en realidad homeomorfas a la esfera. Adicionalmente, las esferas homotópicas pueden ser realizadas en un grupo abeliano mediante la relación de h-cobordismo en el trabajo de Kervaire y Milnor. Para n diferente de 3 y 4, este grupo representa el conjunto de clases de difeomorfismo de las estructuras diferenciables sobre la n esfera. Para n diferente de 3 veremos que este grupo es finito.