Coloquio Oaxaqueño

Expositor: Juan Carlos Fernández Morelos

Procedencia: Facultad de Ciencias, UNAM.

Resumen: Dada una variedad Riemanniana (M, g) cerrada (compacta y sin frontera), un problema clásico en Análisis Geométrico es el problema de Yamabe que consiste en encontrar métricas conformes g de manera que la curvatura escalar sea constante. Este problema resulta ser equivalente a encontrar soluciones de una ecuación diferencial parcial no lineal con exponente crítico, llamada la ecuación de Yamabe. El problema de Yamabe en la esfera es de particular importancia para comprender el problema en una variedad Riemanniana cerrada arbitraria. Nos centraremos en dar un panorama general sobre el problema en la esfera, en especial, estudiaremos el comportamiento de las soluciones que cambian de signo, que han mostrado tener múltiples comportamientos cualitativos distintos y han atraído la atención de muchos especialistas en los  últimos 10 años. También veremos la relación que hay entre este tipo de problemas y la clasificación de hipersuperficies isoparamétricas en la esfera, propuesta por Cartan en 1939, que continúa siendo un problema abierto hasta la fecha. Haremos un énfasis en las ideas más que en la parte técnica con la intención de hacer la plática accesible a no especialistas.