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Giancarlo Urzúa (PUC)

 

Resumen: En geometría algebraica clásica aprendemos que toda superficie nosingular proyectiva tiene modelos minimales. Estas son superficies en la misma clase birracional en donde no existen curvas contractibles a través del teorema de Castelnuovo. Estas superficies minimales se clasifican como: poseen divisor canónico nef (en cuyo caso el modelo es único), superficies regladas, o el plano proyectivo. 

 

La mirada "moderna" es considerar degeneraciones "moderadas" de superficies. Su geometría birracional, aunque más sofisticada (incluye flips), entrega también modelos minimales: poseer divisor canónico nef (esencialmente único de nuevo), deformación suave de superficies regladas, o degeneraciones del plano proyectivo. Estas últimas degeneraciones están gobernadas por la ecuación de Markov a^2+b^2+c^2=3abc, fueron totalmente clasificadas por Hacking y Prokhorov 2010 después de trabajos de Badescu y Manetti. 

 

Resulta que hay una larga historia (110 años más menos) detrás de esta ecuación, con conexiones diversas dentro de la matemática (mirar el libro de Martin Aigner "Markov's Theorem and 100 years of the Uniqueness Conjecture"). La meta de estas charlas es conectar cuanto más se pueda con el punto de vista de la geometría algebraica, por supuesto alrededor de las degeneraciones moderadas del plano proyectivo.

 

Parte I: Singularidades de Wahl y deformaciones moderadas.

 

Parte II: Lo que más se pueda sobre el caso Markov.    

 

Referencia útil: "Smoothable del Pezzo surfaces with quotient singularities" por Hacking y Prokhorov.