Espacios clasificantes para familias, y algunas aplicaciones

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Espacios clasificantes para familias, y algunas aplicaciones

Jueves 25 Mayo 2023, 02:00pm

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Seminario de Geometría, Álgebra y Topología en Oaxaca

Porfirio Leandro León Álvarez, IM UNAM.

Resumen: Una colección de subgrupos $mathcal{F}$ de un grupo $G$ es una familia si es no vacía, es cerrado bajo conjugación y tomar subgrupos. Fijemos grupo $G$ y una familia $mathcal{F}$ de $G$ . Un modelo $X$ para el espacio clasificante respecto de la familia $mathcal{F}$ es, informalmente, un espacio CW en el que el grupo $G$ actúa celularmente y cuyos grupos de isotropía pertenecen a la familia $mathcal{F}$ (y otras condiciones más). Definimos la $mathcal{F}$ -dimensión geométrica de $G$ como el mínimo entero $n$ tal que existe un modelo $X$ para el espacio clasificante respecto de $mathcal{F}$ de dimensión $n$ .
Los espacios clasificantes para familias tienen muchas aplicaciones, por mencionar algunas: aparecen en las conjeturas de isomorfismo de Farrell-Jones y Baum-Connes; se pueden utilizar para definir la cohomología relativa de Adamson; también se pueden utilizar para calcular la complejidad topológica de un espacio. Por lo anterior es importante encontrar modelos concretos y minimales para los espacios clasificantes para familias. En esta plática daremos un panorama general de la dimensión geométrica para familias, sus propiedades, se mencionarán preguntas abiertas y resultados obtenidos.