Coloquio Oaxaqueño

Expositor: Luis Hernández, CIMAT Guanajuato y U. de Santiago de Compostela

Resumen: Un espacio de Banach es un espacio vectorial (de dimensión finita o infinita) junto con una norma que lo hace completo (es decir, toda sucesión de Cauchy converge). Más aún, se dice que es de Hilbert si la norma proviene de un producto interior. En su libro de 1932, Banach pregunta lo siguiente: sea (V, || ||) un espacio de Banach y n> 1 fija. Supón que cualesquiera dos subespacios de dimensión n son isométricos entre sí. Entonces, ¿será necesariamente cierto que (V, || ||) es de Hilbert?

Esto se conoce como "El problema isométrico de Banach''. En 1967 Gromov descubre la manera de relacionar este problema con la geometría/topología de las esferas y demuestra que el problema tiene respuesta positiva para toda n par. Recientemente, he colaborado en la resolución de este problema para la "mitad" de los casos restantes. A saber, pudimos demostrar: Teorema. Si n=4k+1, pero distinto a 133, entonces el problema isométrico de Banach es cierto.

En la charla daré una idea de la prueba (y explicaré de donde sale el 133). ésta involucra una mezcla de nociones básicas de geometría/topología diferencial, geometría convexa, topología algebraica y representaciones de grupos de Lie compactos. Pienso que es un buen ejemplo de cómo varias ramas distintas de las matemáticas se conjugan en la resolución de un problema (originalmente de análisis funcional). Es también un repaso a algunos temas que se abordan en cursos de posgrado.

Web: https://www.matem.unam.mx/~lara/coloquio.html