Seminario de Geometría, Álgebra y Topología en Oaxaca
Jessie Diana Pontigo Herrera, IM-UNAM
Resumen: Sea F ∈ R[x, y] un polinomio y consideremos una pequeña perturbación de la foliación hamiltoniana definida por dF = 0. Supongamos que, en el plano real, esta  foliación posee una familia continua de órbitas periódicas. Una pregunta fundamental en el estudio de sistemas dinámicos es entender qué sucede con estas órbitas  cuando el sistema es perturbado: ¿permanecen como órbitas periódicas o aparecen ciclos límite? Para estudiar este fenómeno se utilizan las funciones de Melnikov, que aparecen como los coeficientes de la aplicación de primer retorno asociada a la perturbación. Estas funciones contienen información esencial sobre la aparición  de ciclos límite y pueden describirse mediante integrales iteradas.
En esta charla estudiaremos una forma de medir la complejidad de las funciones de Melnikov a través de la longitud de las integrales iteradas que las representan.  El objetivo principal será mostrar que esta complejidad puede disminuir de manera significativa cuando un número suficiente de funciones de Melnikov se anula idénticamente. La idea fundamental será establecer primero un teorema de estructura para las funciones de Melnikov y, posteriormente, aplicar el teorema de Ritt–Raudenbush para álgebras diferenciales. La propiedad de Noetherianidad que se obtiene en este contexto permitirá demostrar esta reducción de la longitud. Más precisamente, veremos que, para cualquier k ∈ N, la anulación de un número finito de funciones de Melnikov implica una reducción de al menos k en la longitud de todas las funciones posteriores.
En colaboración con Pavao Mardesic, Dmitry Novikov y Laura Ortiz Bobadilla.
https://sites.google.com/im.unam.mx/seminariogato/2026