Seminario de Geometría, Álgebra y Topología
Jorge Luis Santos Silva, UOIM-UNAM
Resumen: West introdujo la aplicación de stack-sorting, un operador definido combinatoriamente sobre el conjunto de permutaciones de tamaño n, que sirve como un análogo determinista de la máquina de ordenamiento mediante pila de Knuth. Este operador fue generalizado en retículos y ha sido ampliamente estudiado en los últimos años, mostrando su relación con diferentes teorías, entre otras cosas, explica las relaciones cumulante-cumulante dentro de la probabilidad no-conmutativa.
En el 2023 dentro del artículo “Pop‑Stack Operators and Torsion Classes” de Barnard, Defant y Hanson hacen un estudio de este operador sobre los retículos de lases de torsión proponiendo un par de conjetura sobre clases de torsión de tipo 𝐴. En particular, los autores conjeturan que la imagen de este operador es mínima cuando la orientación del carcaj es lineal y máxima en el caso bipartito. Presentaremos la herramienta para la demostración de esta conjetura.
Mostraremos que el problema de contar los elementos de la imagen del operador puede reformularse como el conteo de familias de aristas no adyacentes en grafos completos, estableciendo así una conexión directa con los números de Motzkin.
Nuestra construcción se basa en herramientas de la teoría de representación de álgebras de tipo 𝐴 y en la teoría de clases de torsión, junto con una categoría que llamamos categoría de cuerdas. Esta categoría permite traducir objetos categóricos a configuraciones combinatorias, dando lugar a la biyección que fundamenta nuestro enfoque.